$f$가 increasing, bounded일 때, $f'$은?

과연 무한대에서 0으로 수렴할까? 그냥 무심코 생각하면 increasing, bounded라면 어떤 값으로 수렴하므로 constant function에 가깝게 되어서 미분값도 0에 수렴할 것 같지만, 답은 No이다.

이 명제가 참이라는 것을 증명하라는 문제가 해석곽 연습문제 중에 있어서 나도 같이 고민하다가, 예전에 들었던 문제가 떠올라서 성립하지 않는 반례를 찾을 수 있었다. 책 연습문제를 믿으면 안된다. 성립하지도 않는 것을 증명하려고 몇 시간을 고민해 버렸다.

동치명제를 떠올려 보면 positive function $f : [0, \infty ]\to \mathbb{R}$ 의 이상적분이 존재할 때, $f$가 0으로 수렴하는 지 따져보면 된다. 하지만 그렇지 않은 함수가 존재한다. 즉, 이상적분은 존재하지만, 0으로 수렴하지 않은 함수가 있다.

급수 $\sum \frac{1}{n^2}$ 이 수렴한다는 사실을 이용하자. 각 격자점 $n$마다 높이가 1이고, 밑변의 길이가 $\frac{2}{n^2}$ 인 이동변 삼각형 꼴이 되고, 나머지 지점에서는 함수값이 0인 함수 $f$를 생각해 보자. 이 함수의 적분값은 넓이가 $\frac{1}{n^2}$인 삼각형들의 넓이의 합이므로 수렴할 것이다. 이제 $$F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)}dt$$ 를 생각하자. Fundamental theorem of calculus 에 의해서, $F'(x)=f(x)$이다. 즉 $F'(x) \geq 0$ 이므로 $F$는 increasing이다. $\lim_{x \to \infty}F(x) = \sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq \infty$ 이므로 $F$는 bounded이다. 하지만 $x$가 자연수일 때마다 $F'(x)=1$ 이므로, $\lim_{x\to \infty}F'(x) \neq0$ 이다.

위에서 만든 $f$는 미분불가능이므로, $F$는 두 번 미분가능하지 않다. 하지만 각 격자점에서 $\frac{1}{n^2}$의 넓이를 가지도록 하는 무한번 미분 가능한 함수를 얼마든지 만들 수 있으므로, 그런 함수를 $f$로 잡으면 $F$가 무한번 미분 가능이 된다. 즉, 문제 조건에 함수가 무한 번 미분 가능하다는 강한 조건이 있어도 성립하지 않는 명제가 된다.