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AC::MJ LEE
It is impossible to give 'possiblity' to all subsets of $\mathbb{R}$ 통상 '확률' 이라고 하는 것은 $\mu : \mathbb{P}(\mathbb{R}) \to [0,1]$ 인 함수로, 다음과 같은 성질을 만족하는 것을 말할 것이다. (i) $\mu (\mathbb{R}) =1$ (ii) $\mu (\bigcup A_n ) = \sum \mu (A_n)$ ($A_n$이 disjoint 할 때) (iii) $\mu ({x})=0$ 그러나 Axiom of choice 와 Continuum hypothesis 를 가정하면 위와 같은 함수 $\mu$는 존재하지 않음을 보일 수 있다. Axiom of choice 하에서는 $\alpha$가 countable이..
Show that function $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ has countable local maximum points. Proof. Define $M$ by a set of local maximum points of $f$. Note that $\mathbb{R} = \cup_{n\in \mathbb{Z}} [n, n+1]$. We will show that for every bounded interval $[a, b]\subset \mathbb{R}, M\cap [a, b]$ is countable. Define $M_{k}=\{x\in M\cap [a, b] : |x-y|f(y) \}$. Then $M_k$ is finite for all $k\in \mathbb{N}..
과연 무한대에서 0으로 수렴할까? 그냥 무심코 생각하면 increasing, bounded라면 어떤 값으로 수렴하므로 constant function에 가깝게 되어서 미분값도 0에 수렴할 것 같지만, 답은 No이다. 이 명제가 참이라는 것을 증명하라는 문제가 해석곽 연습문제 중에 있어서 나도 같이 고민하다가, 예전에 들었던 문제가 떠올라서 성립하지 않는 반례를 찾을 수 있었다. 책 연습문제를 믿으면 안된다. 성립하지도 않는 것을 증명하려고 몇 시간을 고민해 버렸다. 동치명제를 떠올려 보면 positive function $f : [0, \infty ]\to \mathbb{R}$ 의 이상적분이 존재할 때, $f$가 0으로 수렴하는 지 따져보면 된다. 하지만 그렇지 않은 함수가 존재한다. 즉, 이상적분은 존..