실수의 모든 부분집합에 대해서 확률을 주는 것은 불가능하다.

It is impossible to give 'possiblity' to all subsets of $\mathbb{R}$

통상 '확률' 이라고 하는 것은 $\mu : \mathbb{P}(\mathbb{R}) \to [0,1]$ 인 함수로, 다음과 같은 성질을 만족하는 것을 말할 것이다.

(i) $\mu (\mathbb{R}) =1$
(ii) $\mu (\bigcup A_n ) = \sum \mu (A_n)$ ($A_n$이 disjoint 할 때)
(iii) $\mu ({x})=0$

그러나 Axiom of choice 와 Continuum hypothesis 를 가정하면 위와 같은 함수 $\mu$는 존재하지 않음을 보일 수 있다. Axiom of choice 하에서는 $\alpha$가 countable이라는 것과 $\alpha < \omega _1$라는 것이 동치라는 것, 그리고 Continuum hypothesis 하에서는 $\mathbb{R}\simeq 2^{\omega} \simeq \omega _1$이라는 것을 이용한다. 위와 같은 성질을 만족하는 $\mu : \mathbb{P}(\mathbb{\omega _1}) \to [0,1]$가 존재한다고 가정하자.

Axiom of choice에 의해서 $\alpha < \omega _1$ 일 때 injection $f_\alpha : \alpha \to \omega$가 존재한다. 이제 $\beta < \omega _1$ 와 $n<\omega$ 에 대해서 $$C_\beta (n)=\{\alpha < \omega _1 | \alpha > \beta ,  f_\alpha (\beta)=n\}$$ 를 정의하자.

Claim 1 : $\beta _1 \neq \beta _2$에 대해서 $C_{\beta _1}(n)$과 $C_{\beta _2}(n)$는 disjoint 이다.

$\gamma \in C_{\beta _1}(n)\cup C_{\beta _2}(n)$라고 가정하자. 그러면 $f_\gamma (\beta _1) = f_\gamma (\beta _2)=n$ 이고 $f$가 injection 이므로 $\beta _1 = beta _2$이다. 즉 $\beta _1 \neq beta _2$이면 $C_{\beta _1}(n)\cup C_{\beta _2}(n) = \phi$이다.

Claim 2 : 각 $n<\omega$ 마다 $\beta _n < \omega _1$이 있어서 $$\beta _n < \beta < \omega _1 \to \mu (C_\beta (n))=0$$ 가 성립한다.

$\mu (C_\beta (n))>0$인 $\beta$의 수가 countable이라는 것을 보이자. 임의의 $k<\omega$에 대해서, $\mu (C_\beta (n))>\frac{1}{k}$인 $\beta$는 finite이다. ($\leq k$) 즉 $\mu (C_\beta (n))>0$인 $\beta$의 수는 countable union of finite sets이므로, countable이다. 이제 이 $\beta$들의 union인 $\beta _n$을 생각하자. 각 $\beta$는 countable이므로, $\beta _n$은 countable union of countable sets이므로 $\beta _n < \omega _1$이다. $\beta _n < \beta < \omega _1 \to \mu (C_\beta (n))=0$가 성립함을 곧바로 알 수 있다.

Claim 3 : 어떤 $\beta < \omega _1$가 있어 모든 $n < \omega$에 대해서 $\mu (C_\beta (n))=0$임이 성립한다.

위 Claim 2에서 존재성을 보인 $\beta _n$의 union $\beta$를 생각해 보자. countable union of countable sets이므로 $\beta < \omega _1$이고, 원하는 성질을 만족한다는 것을 곧바로 알 수 있다.

이제 $\omega _1 = [0, \beta] \cup \bigcup _{n<\omega} C_\beta (n)$ 임을 이용하면, $\beta$는 countable이고 $\mu (C_\beta (n))=0$이므로

$$\mu (\omega _1) = \mu ([0, \beta]) + \sum _{n<\omega} \mu (C_\beta (n)) = 0$$이 되어 모순이 된다.