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AC::MJ LEE
[1] (a) 와 를 유도하시오. [10점] [2] Bernstein 정리를 기술하고 증명하시오. [10점] [3](AC) 각 $\alpha \in \omega _1$에 대해 $P({\alpha})=0$을 만족하는 확률 $P$를 $\omega _1$의 모든 부분집합에 정의할 수는 없음을 보이시오. [15점] [이 때 다음 사실은 증명 없이 이용하시오 : 각 $i\in I$에 대응하여 $\alpha _i \geq 0$가 있어 모든 유한 부분집합 $J \subseteq I$에 대해 $\sum_{i\in J}a_i \leq 1$을 만족하면, countable 부분집합 $I_0 \subseteq I$가 있어 모든 $i\notin I_0$에 대해 $a_i =0$이다.] [4] 술어논리의 완비성을 증명하는데 있어 ..
[1] (a) 다음을 정의하시오. [3점] (b) $S$ 가 위와 같을 때 $\prod_{i\in I} S_i $ 가 $\prod_{i\in I} S_i =\{f|f$ is a function on $I$ and $f(i)\in S_i$ for all $i\in I \}$ 와 같이 정의됨을 기억하시오. 이 때 $\prod_{i\in I} S_i $ 가 잘 정의됨을 보이시오. [사용되는 집합론공리들을 모두 언급하시오.] [10점] [2] (a) $P_0$ 명제논리의 모든 공리들을 소개하시오. [3점] (b) 위에서 부정기호 $\not$ 가 들어가는 공리가 꼭 필요함을 보이시오. 즉, 그 공리 없이는 $P_0$ 명제논리가 complete하지 않음을 보이시오. [Hint. $\tau _0 : P_0 \to \..
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Dividing a circleLet $f$ be a continuous function from $[0,1]$ to a circle. Prove that there exists two closed intervals $I_1 , I_2 \subseteq [0,1]$ such that $I_1 \cap I_2$ has at most one point, $f(I_1)$ and $f(I_2)$ are semicircles, and $f(I_1)\cup f(I_2)$ is a circle. Proof. Let the circle $C$. I will directly construct such intervals. Note that continuous function $f$ preserves connectednes..
Show that function $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ has countable local maximum points. Proof. Define $M$ by a set of local maximum points of $f$. Note that $\mathbb{R} = \cup_{n\in \mathbb{Z}} [n, n+1]$. We will show that for every bounded interval $[a, b]\subset \mathbb{R}, M\cap [a, b]$ is countable. Define $M_{k}=\{x\in M\cap [a, b] : |x-y|f(y) \}$. Then $M_k$ is finite for all $k\in \mathbb{N}..
Platonic solidsDetermine all platonic solids that can be drawn with the property that all of its vertices are rational points. Proof. For first three platonic solids, it is easy to find specific examples with rational coordinates. Tetrahedron : $(0,0,0) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0)$ Cube : $(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1)$ Octahedron : $(1,0,0) (-1,0,0) (0,1,0) (0,-1,0..
과연 무한대에서 0으로 수렴할까? 그냥 무심코 생각하면 increasing, bounded라면 어떤 값으로 수렴하므로 constant function에 가깝게 되어서 미분값도 0에 수렴할 것 같지만, 답은 No이다. 이 명제가 참이라는 것을 증명하라는 문제가 해석곽 연습문제 중에 있어서 나도 같이 고민하다가, 예전에 들었던 문제가 떠올라서 성립하지 않는 반례를 찾을 수 있었다. 책 연습문제를 믿으면 안된다. 성립하지도 않는 것을 증명하려고 몇 시간을 고민해 버렸다. 동치명제를 떠올려 보면 positive function $f : [0, \infty ]\to \mathbb{R}$ 의 이상적분이 존재할 때, $f$가 0으로 수렴하는 지 따져보면 된다. 하지만 그렇지 않은 함수가 존재한다. 즉, 이상적분은 존..
Rank of a matrix Let $M$ be an $n\times n$ matrix over the reals. Prove that $\operatorname{rank}M = \operatorname{rank}M^2 $ if and only if $\lim_{\lambda\to 0} (\lambda I_n +M)^{-1} M$ exists Proof. Suppose that $\operatorname{rank}M = k$. Then $\exists \{B_1, \ldots ,B_k\}\subset \mathbb{R}^n$ a basis of the $\operatorname{row}M$. Let $B\in \mathbb{R}^{k\times n}$ with $B_1, \ldots ,B_k$ as r..