AC::MJ LEE
Platonic solidsDetermine all platonic solids that can be drawn with the property that all of its vertices are rational points. Proof. For first three platonic solids, it is easy to find specific examples with rational coordinates. Tetrahedron : $(0,0,0) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0)$ Cube : $(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1)$ Octahedron : $(1,0,0) (-1,0,0) (0,1,0) (0,-1,0..
과연 무한대에서 0으로 수렴할까? 그냥 무심코 생각하면 increasing, bounded라면 어떤 값으로 수렴하므로 constant function에 가깝게 되어서 미분값도 0에 수렴할 것 같지만, 답은 No이다. 이 명제가 참이라는 것을 증명하라는 문제가 해석곽 연습문제 중에 있어서 나도 같이 고민하다가, 예전에 들었던 문제가 떠올라서 성립하지 않는 반례를 찾을 수 있었다. 책 연습문제를 믿으면 안된다. 성립하지도 않는 것을 증명하려고 몇 시간을 고민해 버렸다. 동치명제를 떠올려 보면 positive function $f : [0, \infty ]\to \mathbb{R}$ 의 이상적분이 존재할 때, $f$가 0으로 수렴하는 지 따져보면 된다. 하지만 그렇지 않은 함수가 존재한다. 즉, 이상적분은 존..
Rank of a matrix Let $M$ be an $n\times n$ matrix over the reals. Prove that $\operatorname{rank}M = \operatorname{rank}M^2 $ if and only if $\lim_{\lambda\to 0} (\lambda I_n +M)^{-1} M$ exists Proof. Suppose that $\operatorname{rank}M = k$. Then $\exists \{B_1, \ldots ,B_k\}\subset \mathbb{R}^n$ a basis of the $\operatorname{row}M$. Let $B\in \mathbb{R}^{k\times n}$ with $B_1, \ldots ,B_k$ as r..
Product of sines Let $X$ be the set of all positive real number $c$ such that $$\frac{\prod_{k=1}^{n-1}{\sin\frac{k\pi}{2n}}}{c^n}$$ converges as $n$ goes to infinity. Find the infimum of $X$. Proof. Since $\sin\frac{\pi}{2}=1$, we can say $\frac{\prod_{k=1}^{n-1}{\sin\frac{k\pi}{2n}}}{c^n}=\frac{\prod_{k=1}^{n}{\sin\frac{k\pi}{2n}}}{c^n}$ Define $B_n =\frac{\prod_{k=1}^{n-1}{\sin\frac{k\pi}{2n}..
이 노래 좋다 ㅋㅋ 요즘 가끔 노래방 가면 부름
만약에 2년졸업이라는 게 현실적으로 가능하다면, (몇몇 영재학교 출신 11학번 수학과 선배님들이 도전하고 있다는데, 벌써 졸업연구를 신청한다는 소문이 들린다.) 아래와 같이 수강하게 될 것 같다. 확실히 전공학점을 채우는 건 그렇게 빡세지는 않다. 한 학기에 3~4 과목만 수강하게 되면 충분히 요건을 채우게되는데, 문제는 교양 24학점을 수강하는 것이다. 만약에 계절학기를 최대한 활용해서 교양과목을 들을 수 있다면, 2년 졸업이 그렇게 어려운 것 같지는 않다. 물론 나는 41학점을 미리 따와서 그런거지만... 선배님들한테 좀 물어보고 앞으로 더 세부적인 계획을 세워봐야겠다. 이번학기에 전자기학, 고전역학 이 두 물리학과 전공과목을 수강한 이유는 사실 전공을 어디로 할 지 결정하지 못했기 때문인데, 중간고..
할 일 없는 토요일 오후.. 오랜만에 수학 포스팅이나 하련다. 지난 학기 집합론을 수강하면서 가장 재밌게 배웠던 부분이 이 선택공리에 관한 내용이었다. 영어로는 Axiom of Choice. 뭔가 멋있으면서도 낭만적인 분위기가 풍겨오지 않는가...... 이런 노래 가사도 있더라. You are my axiom of choice. 줄여서는 AC라고 많이 쓴다. 카이스트 수학동아리를 떨어진 분노의 KSA 수학도들이 만든 그룹의 이름이기도 하다. 카이스트 수학문제연구회 뻐큐머거. 선택공리 명제는 이전 포스팅에서 잘 설명해 놓았다. 링크 - 집합론의 공리(2) : http://blog.naver.com/tonyslee93/120142391360 선택공리를 사용하기 쉽도록 여러가지 다른 형태로 바꾸어보면 [정리]..
Non-fixed points Let X be a finite non-empty set. Suppose that there is a function $f : X\to X$ such that $f^{20120407}(x)=x$ for all $x\in X$. Prove that the number of elements x in X such that $f(x)\neq x$ is divisible by 20120407 Proof. Since $f^{20120407}(X)=X$, $f(X)=X$. That is, $f$ is surjective. Then $f$ is bijective because X is finite. Define $Y=\{x\in X | f(x)\neq x \}$. Let the numbe..